Jeter et éviter les boules de neiges

Boule de neigeEn ce début de mois de Janvier, la neige a cessé de tomber et les enfants du village sont sortis jouer. D’abord partis pour construire un igloo, ils ont rapidement décidé de se servir des murs qu’ils avaient commencé à édifier comme cachettes pour une bataille de boules de neiges.

Jérôme, le fils du boulanger, est particulièrement bien protégé par son mur de neige idéalement placé au sommet de la colline. Son repaire est digne d’un fort ! Il se sent invincible et pense qu’aucun de ses camarades n’arrivera à le toucher, alors que lui parvient à les atteindre les un après les autres.

Mais c’était sans compter sur Arthur, le fort en maths. Alors qu’il semblait d’abord désintéressé de la bataille, recroquevillé sur un papier, il s’est maintenant relevé et prépare ses munitions, de belles boules de neiges parfaitement rondes et régulières. Puis il court à l’orée du bois, à quelques mètres du fort de Jérôme.

Ajustant soigneusement son tir, il tire une boule de neige en direction du ciel. Celle-ci monte très haut, puis retombe en prenant de la vitesse pour atterrir en plein sur la tête du petit tyran ébaubit.

Mais comment a fait Arthur pour réussir ce coup de maître ?!

Etude mathématique

Il a simplement mis en pratique les notions de balistique qu’il a trouvé sur internet !

Une fois la boule de neige lancée, sa trajectoire est balistique, c’est à dire qu’elle est influencée uniquement par la gravité et la friction aérodynamique. L’accélération de la pesanteur (l’action due à la gravité) conduit la boule de neige à accélérer vers le bas de (environ) 9.81 m/s chaque seconde. Cette constante à la dimension d’une accélération et est notée g:

g = 9.81 m.s⁻²

La friction aérodynamique est une force généralement proportionnelle au carré de la vitesse et qui agit dans la direction opposée à la vitesse de l’objet. On la négligera dans notre étude.

Bien que tous les calculs soit facilement faisable à la main, on peut utiliser un logiciel de calcul formel, comme Maxima, pour nous aider (ou pour nous y initier). Voici le fichier de mon étude utilisable avec wxMaxima, une interface graphique pour Maxima qui est très pratique et permet de générer un document tout en effectuant les calculs.

Voici le résultat de l’étude généré par wxMaxima.

Trajectoires d'un projectile

Ensemble des trajectoires d'un projectile de vitesse initiale v en fonction de l'angle a. La vue est réglée de manière à n'afficher que les valeurs y > 0 (avant que le projectile ne touche le sol). On voit bien l'existence d'un maximum de distance parcourue. La vue de la même courbe projetée sur le plan perpendiculaire à l'axe a ferait apparaître la parabole de sûreté.

Simulation

Nous pouvons aussi simuler le comportement de nos boules de neige. Voici un programme en Python lançant une série de boules de neiges avec un angle variant entre 0 et pi/2 (90°), c’est à dire d’un jet à l’horizontale jusque à un jet à la verticale.

Les jets effectués à un angle proche de pi/4 (45°) sont affichés en bleu. Ceux au dessus sont en blanc, ceux en dessous sont en vert. Le point le plus haut de chaque trajectoire est affiché en violet.

Le résultat permet d’observer:

  • la parabole de sûreté
  • la trajectoire d’un lancement à 45°, qui atteint le point au sol le plus éloigné
  • le lieu des points le plus haut des trajectoires qui est une demi-ellipse (une ellipse complète si l’on considère aussi les jets vers l’arrière)

Balistique

Résultat du programme de simulation de lancer de projectile. La parabole de sûreté apparaît clairement.

Pour aller plus loin

Wikipedia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Balistique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Balistique_extérieure
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portée_(balistique)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Trajectoire_parabolique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Parabole_de_sûreté
http://fr.wikipedia.org/wiki/Traînée

Maxima:
http://michel.gosse.free.fr/
http://icp.ge.ch/sem/fc-base/mathemitics/mathemitics/calcul-formel-avec-maxima/AideMemoireMaxima.pdf/view
http://open-freax.fr/calcul-formel-wxmaxima/

Cette entrée a été publiée dans Physique. Vous pouvez la mettre en favoris avec ce permalien.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

treize + = quinze

Vous pouvez utiliser ces balises et attributs HTML : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>